こんにちは、りんどばーぐです。やや久しぶりのヒトツマミ執筆でございます。
今期ヒトツマミ編集部の編集長になりました。
新入生も入りまして、多くの投稿をお届けしていこうかなと思っております。お楽しみに。
さて、この度私、あることを考えたのです。
私はよくトイレで大をするときにはめいっぱいトイレットペーパーを使うのですが、あれって使い始めはゆっくり減るけど、残り少なくなってくると急になくなりますよね?
・・・・・・・
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/05/S__79732744-1-1024x541.jpg)
??もしかして加速度的に減っていくのでしょうか・・・?
なんかの関数で表せるのでは?と思いまして、超数弱な筆者がちょっと計算を試みました。
コンテンツ
トイレットペーパーの図形量
まずはトイレットペーパーの図形量を定義してみましょう!
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/05/S__79732746-edited-1.jpg)
まず、この関数で求めたい変数を設定します。
\(x\):トイレットペーパーの使った部分の長さ
\(y\):芯の外周からトイレットペーパーの外周までの距離(トイレットペーパーが重なってる部分の厚み)
続いて定数を設定します。
\(r\):芯の半径
\( y_0 \):初期状態(\( x = 0 \)のとき)の\(y\)
\( n \):紙が巻かれている回数
\( \frac{y₀}{n} \):トイレットペーパー1枚分の厚さ
芯の厚さ:\(0\)
トイレットペーパーが巻かれている部分の形状は常に円
以上のように仮定します。
計算タイム
では、ここからどのように関数を決定すればよいのでしょうか・・・?
筆者はよくわからないながらもすこ~し計算してみました。
まず、トイレットペーパーを初期状態から1周巻き取ってみます。
このときの\(x\)は初期状態の円周ですから、\(x\)は\( 2\pi(r+y₀) \)増加します。
そしてこのとき、\(y\)はトイレットペーパー1枚の厚さ分、つまり\( \frac{y₀}{n} \)減少しますね。
もう1回巻き取ってみましょう。
2回目に追加的に巻き取る長さ\(x\)は1回巻き終わった後の円周分ですから、\(2\pi\left(r+y₀-\frac{y₀}{n}\right)=2\pi\left(r+\frac{y₀(n-1)}{n}\right)\)増加します。
このときも\(y\)は\( \frac{y₀}{n} \)減少しますね。
3回目も同様に、
\(x\)がさらに\(2\pi\left(r+y₀-2\frac{y₀}{n}\right)=2\pi\left(r+\frac{y₀(n-2)}{n}\right)\)増加し
\(y\)は\( \frac{y₀}{n} \)減少します。
よって、トイレットペーパーを\(n\)回(全部)巻き取った場合、
\(x\)が初期状態から累計で\(\sum_{k=1}^{n} 2\pi\left(r+\frac{y₀}{n}(n-k+1)\right)\)増加すると、\(y\)が\( y_0 \)減少して\( y = 0 \)となります。
・・・・・だから何なのでしょう。?
筆者にはここからどうしてよいか全くわかりませんでした。
これが入試問題だったら部分点で1割くらいもらえるかしら?
完全にお手上げなのでChat GPTさんに聞いてみました!
Chat GPTさんがんばりタイム
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/5719439391bb99001edeb09adeda0f1a-edited.png)
さあ、どうなる???
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/5e0c871a4544956245013e04e32666dd-edited.png)
出ました、計算結果。
\( y = r + \frac{y_0}{n} \left( n – \frac{x}{2\pi\left( r + \frac{y_0}{2n}(m-1) \right)} \right) \)
・・・・・・あってるのか??
しかし、勝手に定義された定数\(m\)が残ったままですね。これは消去してもらいましょう。
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/a1b36c294afb5cfca8112cf0bc9268e9-edited.png)
\( y = y_0 – \frac{y_0 \cdot x}{2 \pi n \left( r + \frac{y_0}{2n} \left( \frac{y_0 \cdot x}{2 \pi n r + \frac{y_0^2 x}{4 \pi n^2}} – 1 \right) \right)} \)
だいぶ複雑になりました。
グラフを書くとどうなっているのでしょうか???
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/1e71bbeafd11b283c288ff6305dbc8de-edited.png)
・・・・・・??????????
うーん、思ってたのと違うなあ、普通の1次関数のように見えますね。
トイレットペーパーの減り方の挙動に合わないと思われるので、もう1回。
Chat GPTさん泣きの1回
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/3fd4126176942d9f7a0fb669aa854eb5-edited.png)
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/46fb917c5e1a429d73bc7374ed178827-edited.png)
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/6986b2d01b731a51f2e5138b7dbad080-edited.png)
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/f97d48537ae44fe0c8c78b90cc21e48e-edited.png)
・・・・・・まさかの単調増加!?\(◎o◎)/!
結構スリムな式になっていい感じかと思ったのに、、、
なので、「減少関数になるはずですが…」とオーダーしたところ、、、
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/19636fce0337a2ed42c180ae467f811b-edited.png)
ん、さっきのやつの\(\frac{x}{\pi}\)の符号だけ変えたやつが出てきましたね。
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/1207d7307c70c2e3a92602c8f3d0abef-edited.png)
ただ、グラフを書いてもらおうとすると力尽きたみたいで、コードだけ置いて帰っちゃいました。
コードをコピーしてGoogle Colaboratoryに貼り付けると・・・?
![](https://hit-tsumami.com/wp-content/uploads/2024/06/c96c049b55fa1873c22db8d1d706d25b-edited.png)
!!!!!
なんか合ってそう!!!!
残り少なくなるにつれて急激に減っていく様子がみてとれますね。
まあ、筆者には計算のプロセスも結果が合ってるのかどうかも、まるっきり分からないのですが。。。
まとめ
以上のように、トイレットペーパーを\(x\)使った時の残りのトイレットペーパーが重なってる部分の厚み\(y\)は
\( y = -r + \sqrt{r^2 + y_0^2 + 2ry_0 – \frac{x}{\pi}} \)
と表されるようです。真偽はわかりません。ぜひお手元のトイレットペーパーで実験してみてください。
改善すべき点がございましたら、お近くのHASC部員まで。